2.1 المعادلات والنظم الخطية

هنا تبدأ الأساسيات. المعادلة الخطية هي معادلة تتضمن متغيرات مرفوعة للقوة واحد فقط، ولا شيء أعلى. عندما تُرسم على التمثيل البياني، فإنها تمثل خطًا مستقيمًا—ومن هنا جاء اسم “خطي”. ورغم بساطتها الظاهرة، فإن إتقانها أمر لا مفر منه.

حل المعادلات الخطية بمتغير واحد

تأخذ المعادلة الخطية بمتغير واحد الشكل: $ax + b = c$، حيث $x$ هو المتغير الذي نسعى لإيجاده، و $a, b, c$ هي ثوابت، بشرط أن $a \neq 0$. الهدف دائمًا واحد: عزل المتغير. يتم ذلك بالتعامل مع المعادلة وكأنها ميزان متوازن. فما تفعله على طرف، يجب أن تفعله على الطرف الآخر.

1. نقل الثوابت: اجمع أو اطرح الحدود لجعل جميع الحدود التي تحتوي على المتغير في طرف، وجميع الحدود الثابتة في الطرف الآخر.
2. عزل المتغير: اقسم على معامل المتغير.

مثال تطبيقي 1: معادلة خطية أساسية

حل المعادلة: $3(x - 5) + 2 = 5x - 9$.

• الخطوة 1: وزّع وبسّط كلا الطرفين. $3x - 15 + 2 = 5x - 9$ $3x - 13 = 5x - 9$

• الخطوة 2: جمع الحدود المتغيرة في طرف واحد. لننقل الحد $3x$ إلى اليمين بطرحه من كلا الطرفين. $-13 = 2x - 9$

• الخطوة 3: جمع الحدود الثابتة في الطرف الآخر. أضف 9 إلى كلا الطرفين. $-4 = 2x$

• الخطوة 4: عزل المتغير. اقسم على 2. $x = -2$

حل نظم المعادلات الخطية

غالبًا ما يكون لدينا أكثر من متغير. ولحل معادلة بمتغيرين، نحتاج إلى معادلتين مستقلتين. يُطلق على هذا اسم نظام المعادلات الخطية. على سبيل المثال: $ax + by = c$ $dx + ey = f$

هدفنا هو إيجاد زوج من القيم $(x, y)$ التي تحقق كلتا المعادلتين في آن واحد. هناك طريقتان رئيسيتان: التعويض والحذف.

الطريقة 1: التعويض (Substitution)

الفكرة هي حل إحدى المعادلتين بالنسبة لأحد المتغيرات بدلالة المتغير الآخر، ثم تعويض هذا التعبير في المعادلة الثانية.

مثال تطبيقي 2: طريقة التعويض

حل النظام:

1. $2x + y = 7$
2. $3x - 2y = 0$

• الخطوة 1: حل إحدى المعادلتين بالنسبة لأحد المتغيرات. تبدو المعادلة (1) سهلة الحل بالنسبة للمتغير $y$. من (1)، نحصل على: $y = 7 - 2x$.

• الخطوة 2: عوّض هذا التعبير في المعادلة الأخرى. عوّض هذا التعبير عن $y$ في المعادلة (2). $3x - 2(7 - 2x) = 0$

• الخطوة 3: حل المعادلة الناتجة ذات المتغير الواحد. $3x - 14 + 4x = 0$ $7x = 14$ $x = 2$

• الخطوة 4: عوّض رجوعًا لإيجاد المتغير الآخر. الآن بعد أن أصبح لدينا $x=2$، أعد تعويضه في تعبير $y$. $y = 7 - 2(2) = 7 - 4 = 3$.

  الحل هو $(x, y) = (2, 3)$. تحقق دائمًا من إجابتك بتعويضها مرة أخرى في كلتا المعادلتين الأصليتين!

الطريقة 2: الحذف (Elimination)

الهدف من الحذف هو جمع أو طرح المعادلات بطريقة تجعل أحد المتغيرات يُلغى. يتطلب هذا غالبًا ضرب إحدى المعادلتين أو كلتيهما في ثابت أولًا.

مثال تطبيقي 3: طريقة الحذف

لنقم بحل نفس النظام:

1. $2x + y = 7$
2. $3x - 2y = 0$

• الخطوة 1: اختر متغيرًا لحذفه. لنحذف $y$. المعاملات هي +1 و -2. يمكننا جعلهما +2 و -2 إذا ضربنا المعادلة الأولى في 2.

• الخطوة 2: عدّل المعادلات. اضرب المعادلة (1) في 2: $2 \times (2x + y = 7) \implies 4x + 2y = 14$ نظامنا الجديد هو: 1أ. $4x + 2y = 14$ 2. $3x - 2y = 0$

• الخطوة 3: اجمع أو اطرح المعادلات. بما أن مُعامِلي $y$ متعاكسان (+2y و -2y)، فإننا نجمع المعادلتين. $(4x + 3x) + (2y - 2y) = (14 + 0)$ $7x = 14$ $x = 2$

• الخطوة 4: عوّض رجوعًا لإيجاد المتغير الآخر. عوّض $x=2$ في أي من المعادلتين الأصليتين. لنستخدم (1). $2(2) + y = 7 \implies 4 + y = 7 \implies y = 3$.

  الحل هو مرة أخرى $(x, y) = (2, 3)$.

خدعة أولمبياد: أحيانًا لا تطلب المسألة $x$ و $y$ بشكل فردي، بل تطلب تركيبة مثل $x+y$. قبل أن تغوص في حل النظام بالكامل، تحقق مما إذا كان يمكنك إيجاد اختصار بمجرد جمع أو طرح المعادلات المعطاة.