1.3 خواص المثلثات

المثلث هو بلا شك أهم مضلع في الهندسة. إنه الأبسط، إذ لا يملك سوى ثلاثة أضلاع، ولكنه مع ذلك صلب ومتعدد الاستخدامات بشكل لا يصدق. إن فهم خصائصه أمر لا غنى عنه لتحقيق النجاح في الأولمبياد الدولي للرياضيات (IMO).

نظرية مجموع زوايا المثلث

هذه هي النظرية الأهم. ربما تعرفها بالفعل، ولكن لنبرهنها، لأنه في الأولمبيادات، فإن معرفة سبب صحة الشيء لا تقل أهمية عن معرفة أنه صحيح.

النظرية: مجموع قياسات الزوايا الداخلية في أي مثلث يساوي $180^\circ$.

• البرهان:
  1. ابدأ بأي مثلث، ولنسمّه $\triangle ABC$. نريد أن نبرهن أن $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
  2. هذا هو الوقت المثالي لرسم خط مساعد! لنرسم خطًا مستقيمًا $l$ يمر بالرأس B ويكون موازيًا للضلع المقابل، $\overline{AC}$. (يمكننا فعل ذلك بسبب مسلمة التوازي).
  3. الخط $l$ والخط الذي يحتوي على $\overline{AC}$ متوازيان. الضلع $\overline{AB}$ يعمل كقاطع. ابحث عن شكل حرف ‘Z’. الزاوية $\angle A$ والزاوية الواقعة على الخط $l$ إلى يسار B مباشرة هما زاويتان متبادلتان داخليًا. لذلك، فهما متساويتان. لنسمِّ هذه الزاوية الجديدة $\angle D$. إذن، $\angle D = \angle A$.
  4. وبالمثل، فإن الضلع $\overline{BC}$ هو أيضًا قاطع. الزاوية $\angle C$ والزاوية الواقعة على الخط $l$ إلى يمين B هما زاويتان متبادلتان داخليًا. وهما أيضًا متساويتان. لنسمِّ هذه الزاوية $\angle E$. إذن، $\angle E = \angle C$.
  5. الآن، انظر إلى النقطة B. الزوايا $\angle D$ و$\angle B$ (الأصلية من المثلث) و$\angle E$ تقع جميعها معًا على الخط المستقيم $l$. لذا، يجب أن يكون مجموعها $180^\circ$. $\angle D + \angle B + \angle E = 180^\circ$
  6. عوّض بما وجدناه في الخطوتين 3 و 4: $\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$.
  • وبهذا نكون قد انتهينا! برهان جميل وواضح باستخدام معرفتنا بالخطوط المتوازية.

نظرية الزاوية الخارجية والعلاقات بين الضلع والزاوية

الزاوية الخارجية للمثلث هي زاوية تتشكل من أحد أضلاعه وامتداد لضلع مجاور له.

نظرية الزاوية الخارجية: قياس الزاوية الخارجية للمثلث يساوي مجموع قياسي الزاويتين الداخليتين المقابلتين لها (البعيدتين عنها).

• تخيل $\triangle ABC$. قم بتمديد الضلع $\overline{AC}$ إلى نقطة $D$. الزاوية $\angle BCD$ هي زاوية خارجية.
• النظرية: $\angle BCD = \angle A + \angle B$.
• البرهان: نحن نعلم أن $\angle BCA + \angle BCD = 180^\circ$ (زوج خطي). ونعلم أيضًا من نظرية مجموع الزوايا أن $\angle BCA + \angle A + \angle B = 180^\circ$. بمقارنة هاتين المعادلتين نحصل على الفور على $\angle BCD = \angle A + \angle B$.

من النتائج الحتمية لهذه النظرية أن الزاوية الخارجية تكون دائمًا أكبر من أي من الزاويتين الداخليتين المقابلتين لها. قد يبدو هذا بسيطًا، ولكنه أداة أساسية في العديد من براهين المتباينات.

العلاقات بين الضلع والزاوية هذه قاعدة أساسية تربط بين أضلاع وزوايا المثلث:

• في أي مثلث، الضلع الأطول يقابل الزاوية الأكبر.
• وعلى العكس، الزاوية الأكبر تقابل الضلع الأطول. (وينطبق الشيء نفسه على الضلع الأقصر والزاوية الأصغر).

على سبيل المثال، في $\triangle ABC$، إذا كانت $\angle A > \angle B$، فإن الضلع المقابل لـ $\angle A$، وهو $BC$، يجب أن يكون أطول من الضلع المقابل لـ $\angle B$، وهو $AC$. أي أن $BC > AC$.

المثلثات المتساوية الساقين والمتساوية الأضلاع

هذه مثلثات خاصة ومتناظرة تظهر طوال الوقت في مسائل المسابقات.

• المثلث المتساوي الساقين هو مثلث فيه ضلعان على الأقل متساويان في الطول.
  • الزاويتان المقابلتان للضلعين المتساويين تكونان أيضًا متساويتين. تُسمّى هاتان الزاويتان زاويتي القاعدة.
  • خدعة أولمبياد: إذا أعطتك مسألة مثلثًا به زاويتان متساويتان، فأنت تعلم على الفور أنه متساوي الساقين وأن الضلعين المقابلين لتلك الزوايا متساويان. هذه العلاقة المتبادلة هي هبة—لا تنس استخدامها!
• المثلث المتساوي الأضلاع هو مثلث فيه جميع الأضلاع الثلاثة متساوية في الطول.
  • ولأن جميع الأضلاع متساوية، يجب أن تكون جميع الزوايا متساوية. وبما أن مجموعها يجب أن يكون $180^\circ$، فإن قياس كل زاوية في المثلث المتساوي الأضلاع هو بالضبط $180^\circ / 3 = 60^\circ$.
  • نصيحة: إذا رأيت زاوية قياسها $60^\circ$ في مسألة، خاصة إذا كانت مرتبطة بمثلث متساوي الساقين، فتحقق على الفور مما إذا كان يمكنك تكوين مثلث متساوي الأضلاع. إنه إنشاء شائع وقوي للغاية.

مثال محلول 1.3.1 (إيجاد المثلث الخاص)

في $\triangle ABC$، لدينا نقطة $D$ على الضلع $BC$ بحيث $AD = BD$. معطى أيضًا أن $\angle B = 40^\circ$ و $\angle C = 35^\circ$. أوجد قياس $\angle DAC$.

• منهج التفكير: لنرسم شكلًا تقريبيًا. لدينا مثلث كبير $ABC$. النقطة $D$ تقع على $BC$. الشرط $AD = BD$ مهم للغاية! هذا يعني أن $\triangle ABD$ هو مثلث متساوي الساقين. يجب أن تكون هذه نقطة البداية. لنستخدم ما نعرفه عن المثلثات المتساوية الساقين ومن ثم مجموع زوايا المثلث ككل.

• الحل:

  1. في $\triangle ABD$، بما أن $AD = BD$، فهو مثلث متساوي الساقين.
  2. يجب أن تكون زاويتا القاعدة متساويتين: $\angle BAD = \angle B$.
  3. معطى لدينا أن $\angle B = 40^\circ$، إذن $\angle BAD = 40^\circ$.
  4. الآن، لننظر إلى المثلث بأكمله، $\triangle ABC$. مجموع زواياه هو $180^\circ$. $\angle BAC + \angle B + \angle C = 180^\circ$
  5. نحن نعرف أن $\angle B = 40^\circ$ و $\angle C = 35^\circ$. $\angle BAC + 40^\circ + 35^\circ = 180^\circ$ $\angle BAC + 75^\circ = 180^\circ$ $\angle BAC = 105^\circ$.
  6. الزاوية $\angle BAC$ تتكون من جزأين: $\angle BAD$ و $\angle DAC$. $\angle BAC = \angle BAD + \angle DAC$
  7. عوّض بالقيم التي وجدناها: $105^\circ = 40^\circ + \angle DAC$
  8. بالحل لإيجاد الزاوية المطلوبة: $\angle DAC = 105^\circ - 40^\circ = 65^\circ$.