2.2 المعادلات والتعبيرات التربيعية

التعبير التربيعي هو كثيرة حدود من الدرجة الثانية، وصيغته العامة هي $ax^2 + bx + c$، حيث $a \neq 0$. عندما نساوي هذا التعبير بالصفر، نحصل على معادلة تربيعية: $ax^2 + bx + c = 0$.

تقنيات التحليل (التحليل إلى عوامل) للتعبيرات التربيعية

يعني التحليل (إلى عوامل) إعادة كتابة التعبير التربيعي كحاصل ضرب عاملين خطيين. إذا تمكّنا من كتابة $ax^2 + bx + c = (px+q)(rx+s)$، فإن جذور المعادلة تكون ببساطة $x = -q/p$ و $x = -s/r$؛ لأنه إذا كان حاصل ضرب شيئين يساوي صفرًا، فلا بد أن يكون أحدهما صفرًا.

بالنسبة للمعادلات التربيعية الأبسط حيث $a=1$ (المعادلات التربيعية أحادية المعامل $x^2$ - Monic quadratics)، مثل $x^2 + bx + c$، فإننا نبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي $c$ وحاصل جمعهما يساوي $b$.

مثال محلول 1: تحليل تعبير تربيعي أحادي المعامل

حل المعادلة $x^2 - 5x + 6 = 0$.

• نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما يساوي $+6$ وحاصل جمعهما يساوي $-5$.
• لنقم بسرد أزواج عوامل العدد 6: $(1, 6)، (-1, -6)، (2, 3)، (-2, -3)$.
• الزوج الذي مجموعه يساوي $-5$ هو $(-2, -3)$.
• إذًا، يمكننا تحليل التعبير التربيعي إلى: $(x - 2)(x - 3) = 0$.
• هذا يعطي احتمالين: $x-2 = 0$ أو $x-3=0$.
• الجذران هما $x=2$ و $x=3$.

عندما تكون $a \neq 1$، يكون التحليل أصعب قليلاً. تبحث عن عددين حاصل ضربهما يساوي $ac$ وحاصل جمعهما يساوي $b$، ثم تستخدم طريقة التجميع.

مثال محلول 2: تحليل تعبير تربيعي غير أحادي المعامل

حل المعادلة $6x^2 - x - 2 = 0$.

• هنا $a=6, b=-1, c=-2$. نحتاج إلى عددين حاصل ضربهما يساوي $ac = 6 \times (-2) = -12$ وحاصل جمعهما يساوي $b = -1$.
• هذان العددان هما $-4$ و $+3$.
• نعيد كتابة الحد الأوسط باستخدام هذين العددين: $6x^2 + 3x - 4x - 2 = 0$.
• الآن، نحلل بالتجميع: $3x(2x + 1) - 2(2x + 1) = 0$ $(3x - 2)(2x + 1) = 0$
• الجذران هما $3x - 2 = 0 \implies x = 2/3$ و $2x + 1 = 0 \implies x = -1/2$.

القانون العام (الصيغة التربيعية) والمميز

ماذا لو لم تتمكن من إيجاد العوامل بسهولة؟ القانون العام هو “سلاحنا” الأخير الذي يعمل مع أي معادلة تربيعية. بالنسبة للمعادلة $ax^2 + bx + c = 0$، تُعطى الجذور بواسطة:

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

يُطلق على التعبير داخل الجذر التربيعي، $\Delta = b^2 - 4ac$، اسم المميز. وهو مهم للغاية لأنه يخبرنا عن طبيعة الجذور دون الحاجة إلى حسابها فعليًا.

• إذا كانت $\Delta > 0$، يوجد جذران حقيقيان مختلفان.
• إذا كانت $\Delta = 0$، يوجد جذر حقيقي واحد بالضبط (“جذر مكرر”).
• إذا كانت $\Delta < 0$، لا توجد جذور حقيقية (الجذور تكون مترافقة عقدية/مركبة، وهو ما ستستكشفه في المستوى الثاني).

مثال محلول 3: القانون العام والمميز

حلل وحل المعادلة $3x^2 + 8x + 2 = 0$.

• الخطوة 1: تحليل المميز. $a=3, b=8, c=2$. $\Delta = b^2 - 4ac = 8^2 - 4(3)(2) = 64 - 24 = 40$. بما أن $\Delta > 0$، نعلم أن هناك جذرين حقيقيين مختلفين.

• الخطوة 2: تطبيق القانون العام. $x = \frac{-8 \pm \sqrt{40}}{2(3)} = \frac{-8 \pm \sqrt{4 \times 10}}{6} = \frac{-8 \pm 2\sqrt{10}}{6}$

• الخطوة 3: تبسيط الجذور. $x = \frac{2(-4 \pm \sqrt{10})}{6} = \frac{-4 \pm \sqrt{10}}{3}$ الجذران هما $x_1 = \frac{-4 + \sqrt{10}}{3}$ و $x_2 = \frac{-4 - \sqrt{10}}{3}$.

خطأ شائع في الأولمبياد: من الأخطاء الشائعة نسيان أنه لكي تكون المعادلة تربيعية، يجب أن يكون $a \neq 0$. إذا احتوت معادلة على متغير في معامل $x^2$، مثل $(k-1)x^2 + 2x + 5 = 0$، فيجب عليك دائمًا التفكير في الحالة الخاصة التي يكون فيها المعامل صفرًا (أي $k=1$)، مما يجعل المعادلة خطية!