2.6 مقدمة حول المجاميع والجداءات المتداخلة (Telescoping Sums and Products)

تُعد المجاميع المتداخلة (Telescoping sums) إحدى أجمل الحيل الجبرية لمعالجة المتسلسلات. يأتي الاسم من مفهوم المنظار اللّاعب (telescope toy) الذي ينطوي على نفسه. بالطريقة ذاتها، تنطوي هذه المجاميع على نفسها، حيث تُحذَف معظم حدودها متبادلةً.

الفكرة الأساسية هي التعبير عن كل حد $a_k$ في المتسلسلة على أنه فرق بين حدين متتاليين لمتتالية أخرى، لنقل على سبيل المثال $a_k = f(k) - f(k+1)$.

عندما تقوم بكتابة المجموع بشكل مفصَّل، يحدث شيء أشبه بالسحر: $\sum_{k=1}^{n} a_k = (f(1) - f(2)) + (f(2) - f(3)) + (f(3) - f(4)) + ... + (f(n) - f(n+1))$

انظر إلى الحدود الداخلية! يُلغى الحد $-f(2)$ من الحد الأول بواسطة الحد $+f(2)$ من الحد الثاني. ويُلغى الحد $-f(3)$ بواسطة الحد $+f(3)$، وهكذا دواليك. يستمر هذا التفاعل المتسلسل حتى يكاد لا يتبقى شيء.

ينهار المجموع ليصبح فقط الجزء الأول من الحد الأول والجزء الأخير من الحد الأخير: $\sum_{k=1}^{n} a_k = f(1) - f(n+1)$

التقنية الأكثر شيوعًا لتحقيق هذا الشكل هي تجزئة الكسور الجزئية (partial fraction decomposition).

مثال تطبيقي 1: مجموع متداخل كلاسيكي

أوجد قيمة المجموع $S = \sum_{k=1}^{99} \frac{1}{k(k+1)}$.

• يبدو هذا المجموع صعبًا. لنجرب التعبير عن الحد $\frac{1}{k(k+1)}$ كفرق.
• نستخدم الكسور الجزئية: نريد إيجاد $A$ و $B$ بحيث يكون $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+1}$.
• بالضرب في $k(k+1)$، نحصل على $1 = A(k+1) + Bk$.
• إذا وضعنا $k=0$، نحصل على $1 = A(1) \implies A=1$.
• إذا وضعنا $k=-1$، نحصل على $1 = B(-1) \implies B=-1$.
• إذًا، الحد لدينا هو $\frac{1}{k(k+1)} = \frac{1}{k} - \frac{1}{k+1}$.
• هذا هو الشكل الذي أردناه! وهنا $f(k) = 1/k$.
• الآن لنكتب المجموع بالتفصيل: $S = \left(\frac{1}{1} - \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) + \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) + ... + \left(\frac{1}{99} - \frac{1}{100}\right)$
• تُلغى جميع الحدود الوسيطة! يتبقى لدينا: $S = \frac{1}{1} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100}$

تعمل الجداءات المتداخلة (Telescoping Products) بالمثل. حيث يتم التعبير عن كل حد $a_k$ كنسبة $f(k)/f(k-1)$. وعند ضربها، يلغي بسط أحد الحدود مقام الحد الذي يليه!

$\prod_{k=1}^{n} a_k = \frac{f(1)}{f(0)} \times \frac{f(2)}{f(1)} \times \frac{f(3)}{f(2)} \times ... \times \frac{f(n)}{f(n-1)} = \frac{f(n)}{f(0)}$

مسائل تدريبية

حان الوقت لوضع أدواتك الجديدة قيد الاختبار! تذكر أن الخطوة الأولى دائمًا هي تحديد المفهوم الذي تطلبه المسألة. لا تخف من المحاولة والخطأ؛ فالإخفاق جزء من عملية التعلم!

مستوى سهل

1. حل نظام المعادلات لإيجاد قيمة $x$ و $y$: $4x + 3y = 10$ $3x - 2y = -1$

2. الحد الرابع لمتتالية حسابية هو 11 والحد العاشر هو 29. أوجد الحد الأول والفرق المشترك.