1.1 المسلمات والبديهيات الإقليدية الأساسية

يُبنى كل شيء في الرياضيات على مجموعة من الافتراضات التأسيسية — قواعد اللعبة التي نتفق عليها جميعًا. في الهندسة، تُسمى هذه الافتراضات مسلمات أو بديهيات (Postulates). إنها عبارات أساسية لدرجة أننا نقبلها كحقيقة دون الحاجة إلى برهان. فكِّر فيها على أنها الأساس الصلب الذي نبني عليه ناطحات سحاب المنطق.

لنستكشف الآن المسلمات والبديهيات الأساسية.

النقاط والمستقيمات والمستويات والاستقامة

• النقطة هي الكائن الأكثر جوهرية. لا تملك أي بعد (لا طول، لا عرض، لا ارتفاع)؛ هي ببساطة تحدد موقعًا. نمثِّلها بنقطة ونسميها بحرف كبير، مثل النقطة $P$.

• المستقيم هو ترتيب مستقيم للنقاط يمتد إلى ما لا نهاية في كلا الاتجاهين. يملك بُعدًا واحدًا: الطول. يمكن تعريف المستقيم بأي نقطتين مختلفتين تقعان عليه. غالبًا ما نسمي المستقيم باستخدام نقطتين عليه، مثل $\overleftrightarrow{AB}$، أو بحرف صغير واحد، مثل المستقيم $l$.

• المستوى هو سطح مُسطَّح يمتد إلى ما لا نهاية في جميع الاتجاهات. يملك بُعدين: الطول والعرض. فكِّر في ورقة مسطحة تمامًا وكبيرة إلى ما لا نهاية.

والآن، لننتقل إلى علاقة رئيسية:

• الاستقامة (التسامُت): يُقال إن مجموعة من النقاط مستقيمة (متسامتة) إذا كانت جميعها تقع على نفس الخط المستقيم الواحد.

• تخيَّل ثلاثة أصدقاء يقفون في حقل. إذا كان بإمكانك مد حبل واحد بحيث يلامسهم جميعًا دون انحناء، فهم مستقيمون (متسامتون). وإذا ابتعد أحدهم إلى الجانب، فهم ليسوا كذلك.

في مسائل الأولمبياد، غالبًا ما يُطلب منك إثبات أن ثلاث نقاط تقع على استقامة واحدة. هذه مهمة شائعة وقد تكون صعبة في بعض الأحيان. غالبًا ما يتضمن البرهان المباشر إظهار أن الزاوية المتكونة من النقاط الثلاث تساوي $180^\circ$. على سبيل المثال، لإثبات أن النقاط A و B و C تقع على استقامة واحدة، قد تحاول إظهار أن $\angle ABX + \angle XBC = 180^\circ$ لبعض المستقيمات الأخرى، مما يعني أن A و B و C تشكِّل خطًا مستقيمًا.

علاقات الزوايا: الزوايا المتقابلة بالرأس والمتممة والمتكاملة

عندما يتقاطع مستقيمان، فإنهما يشكلان زوايا. الزاوية هي الشكل المتكون من شعاعين (جزأين من مستقيمين) يتشاركان في نقطة طرفية مشتركة، تُسمى الرأس. نقيس الزوايا بالدرجات ($^\circ$).

لننظر إلى ما يحدث عندما يتقاطع مستقيمان، لنقل $l$ و $m$، في نقطة $P$. فإنهما يُنشئان أربع زوايا.

• الزوايا المتقابلة بالرأس: هذه هي أزواج الزوايا المتقابلة مباشرة. في الرسم التوضيحي لدينا، $\angle 1$ و $\angle 3$ هما زاويتان متقابلتان بالرأس، وكذلك $\angle 2$ و $\angle 4$.

  • خدعة أولمبياد: الزوايا المتقابلة بالرأس تكون دائمًا متساوية! أي أن $\angle 1 = \angle 3$ و $\angle 2 = \angle 4$. هذه هي أداتك الأولى في “ملاحقة الزوايا”. البرهان بسيط ولكنه قوي. تشكل الزاويتان $\angle 1$ و $\angle 2$ خطًا مستقيمًا، لذا فإن $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$. كما تشكل الزاويتان $\angle 2$ و $\angle 3$ خطًا مستقيمًا أيضًا، لذا فإن $\angle 2 + \angle 3 = 180^\circ$. بمقارنة هاتين المعادلتين، نحصل على $\angle 1 = \angle 3$. لا تقلل أبدًا من قوة هذه الخاصية البسيطة في رسم تخطيطي معقد!

• الزوايا المتكاملة: تكون الزاويتان متكاملتين إذا كان مجموعهما $180^\circ$. الزوايا التي تشكل خطًا مستقيمًا (زوج خطي) هي دائمًا متكاملة. على سبيل المثال، $\angle 1 + \angle 2 = 180^\circ$.

• الزوايا المتممة: تكون الزاويتان متتامتين إذا كان مجموعهما $90^\circ$. هذه هي الزوايا التي تشكل زاوية قائمة.

مثال محلول 1.1.1 (ملاحقة الزوايا)

يتقاطع المستقيمان $\overleftrightarrow{AB}$ و $\overleftrightarrow{CD}$ في النقطة $E$. إذا كانت $\angle AED = (3x + 15)^\circ$ و $\angle CEB = (5x - 5)^\circ$، أوجد قياس $\angle AEC$.

• منهجية التفكير: ارسم الرسم أولاً! لديك مستقيمان متقاطعان. حدد العلاقة بين الزوايا المعطاة. الزاويتان $\angle AED$ و $\angle CEB$ تقعان على جانبين متقابلين من نقطة التقاطع. إنهما زاويتان متقابلتان بالرأس. وماذا نعرف عن الزوايا المتقابلة بالرأس؟ إنهما متساويتان. يمنحنا هذا معادلة لحل قيمة $x$.

• الحل:

  1. بما أن $\angle AED$ و $\angle CEB$ زاويتان متقابلتان بالرأس، فإن قياسيهما متساويان. $3x + 15 = 5x - 5$
  2. الآن، حل المعادلة لإيجاد قيمة $x$. $20 = 2x$ $x = 10$
  3. المطلوب هو إيجاد قياس $\angle AEC$. لاحظ أن $\angle AED$ و $\angle AEC$ تشكلان زوجًا خطيًا؛ فهما تقعان على الخط المستقيم $\overleftrightarrow{CD}$. لذلك، فهما متكاملتان.
  4. أولاً، أوجد قياس $\angle AED$ بتعويض قيمة $x=10$ في التعبير الخاص بها: $\angle AED = 3(10) + 15 = 30 + 15 = 45^\circ$
  5. الآن استخدم علاقة التكامل: $\angle AEC + \angle AED = 180^\circ$ $\angle AEC + 45^\circ = 180^\circ$ $\angle AEC = 135^\circ$

• خلاصة رئيسية: لا تتوقف عند إيجاد قيمة $x$ فقط! أعد قراءة السؤال دائمًا للتأكد من أنك تحل المطلوب. إن رسم رسم تخطيطي، حتى لو كان بسيطًا، يمكن أن يمنع سوء تفسير علاقات الزوايا.