2.4 المتتاليات الحسابية (Arithmetic Progressions)

المتتالية الحسابية (AP) هي متتالية من الأعداد يكون فيها الفرق بين أي حدين متتاليين ثابتاً. يمكن التفكير فيها كأخذ خطوات متساوية الحجم.

• يُرمز للحد الأول بالرمز $a$ أو $a_1$.
• يُسمى الفرق الثابت أساس المتتالية (أو الفرق المشترك) ويُرمز له بالرمز $d$.

مثال: المتتالية $3, 7, 11, 15, 19, ...$ هي متتالية حسابية حدها الأول $a_1=3$ وأساسها $d=4$.

صيغة الحد النوني

للحصول على الحد الثاني، نضيف $d$ مرة واحدة. وللحصول على الحد الثالث، نضيف $d$ مرتين. وهكذا، للحصول على الحد النوني (الحد ذي الترتيب $n$)، نبدأ بالحد الأول $a_1$ ونضيف $d$ بمجموع $(n-1)$ من المرات.

صيغة الحد النوني للمتتالية الحسابية هي: $a_n = a_1 + (n-1)d$

مثال تطبيقي 1: إيجاد حد معين

أوجد الحد الخمسين للمتتالية $2, 5, 8, 11, ...$

• هذه متتالية حسابية حدها الأول $a_1 = 2$ وأساسها $d = 5-2 = 3$.
• المطلوب هو إيجاد $a_{50}$.
• باستخدام الصيغة: $a_{50} = 2 + (50-1) \times 3 = 2 + 49 \times 3 = 2 + 147 = 149$.

مجموع المتتالية الحسابية

تُروى القصة بأنّ عالم الرياضيات العظيم كارل فريدريش غاوس، عندما كان طفلاً في المدرسة الابتدائية، طلب منه معلمه جمع الأعداد الصحيحة من 1 إلى 100، أملاً في إبقائهم مشغولين. حلّ غاوس المسألة في لحظات. لقد كتب المجموع مرتين: $S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100$ $S = 100 + 99 + 98 + ... + 2 + 1$

عند جمع هذين السطرين عمودياً، لاحظ نمطاً: $2S = (1+100) + (2+99) + ... + (99+2) + (100+1)$ $2S = 101 + 101 + ... + 101 + 101$

بما أن هناك 100 حد، فإن $2S = 100 \times 101$. ومنه، $S = \frac{100 \times 101}{2} = 5050$.

تُتيح لنا هذه الطريقة الجميلة الصيغة العامة لمجموع الحدود $n$ الأولى للمتتالية الحسابية، ويُرمز له بالرمز $S_n$.

$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$

تَعني هذه الصيغة “عدد الحدود مقسوماً على اثنين، مضروباً في مجموع الحد الأول والحد الأخير”. وبما أننا نعلم أن $a_n = a_1 + (n-1)d$، يمكننا التعويض للحصول على صيغة مفيدة أخرى:

$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$

مثال تطبيقي 2: حساب المجموع

أوجد مجموع الحدود العشرين الأولى للمتتالية الحسابية: $8, 12, 16, ...$

• لدينا $a_1 = 8$، و $d=4$، و $n=20$.
• لنستخدم الصيغة الثانية: $S_{20} = \frac{20}{2}(2(8) + (20-1)4)$ $S_{20} = 10(16 + 19 \times 4)$ $S_{20} = 10(16 + 76) = 10(92) = 920$.