Skip to Content
الرياضياتالأساسياتالجبر2.3 صيغ فييت

2.3 صيغ فييت (Vieta’s Formulas) (الأساسية)

كان فرانسوا فييت عالم رياضيات لامعًا اكتشف علاقة مباشرة وجميلة بين معاملات كثيرة الحدود (المعادلة متعددة الحدود) ومجاميع وجداءات جذورها (حلولها). بالنسبة لمسابقات الأولمبياد، تعد هذه واحدة من أكثر الأدوات الجبرية فائدة التي قد تتعلمها.

بالنسبة إلى معادلة تربيعية قياسية ax2+bx+c=0ax^2 + bx + c = 0، ذات الجذرين α\alpha و β\beta، فإن صيغ فييت هي:

  • مجموع الجذرين: α+β=−ba\alpha + \beta = -\frac{b}{a}
  • جداء (ضرب) الجذرين: αβ=ca\alpha \beta = \frac{c}{a}

هذا يعني أنه يمكنك معرفة مجموع وجداء الجذرين بمجرد النظر إلى المعادلة، دون الحاجة إلى حلهما (إيجاد قيمتهما) مطلقًا!

مثال تطبيقي 1: تطبيق صيغ فييت

للمعادلة التربيعية 2x2−7x+4=02x^2 - 7x + 4 = 0، أوجد مجموع وجداء جذورها.

  • هنا a=2,b=−7,c=4a=2, b=-7, c=4. لنفترض أن الجذرين هما α\alpha و β\beta.
  • المجموع: α+β=−(−7)/2=7/2\alpha + \beta = -(-7)/2 = 7/2.
  • الجداء: αβ=4/2=2\alpha \beta = 4/2 = 2.

بسيط، أليس كذلك؟ لكن القوة الحقيقية تكمن في استخدام هذه الصيغ لإيجاد قيمة تعابير (تعبيرات) أكثر تعقيدًا تتضمن الجذور. إحدى المتطابقات الجبرية الأساسية التي يجب معرفتها هنا هي (α+β)2=α2+2αβ+β2(\alpha + \beta)^2 = \alpha^2 + 2\alpha\beta + \beta^2، والتي يمكن إعادة ترتيبها لتصبح α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta.

مثال تطبيقي 2: إيجاد تعابير بدلالة الجذور

إذا كان α\alpha و β\beta هما جذري المعادلة x2−5x+3=0x^2 - 5x + 3 = 0، فأوجد قيمة α2+β2\alpha^2 + \beta^2.

  • من المعادلة، a=1,b=−5,c=3a=1, b=-5, c=3.
  • باستخدام صيغ فييت: α+β=−(−5)/1=5\alpha + \beta = -(-5)/1 = 5 αβ=3/1=3\alpha \beta = 3/1 = 3
  • الآن نستخدم المتطابقة التي ناقشناها للتو: α2+β2=(α+β)2−2αβ\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta α2+β2=(5)2−2(3)=25−6=19\alpha^2 + \beta^2 = (5)^2 - 2(3) = 25 - 6 = 19. لاحظ كيف وجدنا قيمة α2+β2\alpha^2 + \beta^2 دون إيجاد α\alpha أو β\beta مطلقًا! هذا هو سحر صيغ فييت.

مثال تطبيقي 3: إنشاء معادلات تربيعية جديدة

ليكن α\alpha و β\beta هما جذري المعادلة x2−2x−5=0x^2 - 2x - 5 = 0. أوجد معادلة تربيعية جديدة جذورها هي α2\alpha^2 و β2\beta^2.

  • الخطوة 1: أوجد مجموع وجداء الجذور الأصلية. α+β=−(−2)/1=2\alpha + \beta = -(-2)/1 = 2 αβ=−5/1=−5\alpha \beta = -5/1 = -5

  • الخطوة 2: أوجد مجموع وجداء الجذور الجديدة. الجذران الجديدان هما R1=α2R_1 = \alpha^2 و R2=β2R_2 = \beta^2.

    • المجموع الجديد: Snew=R1+R2=α2+β2=(α+β)2−2αβ=(2)2−2(−5)=4+10=14S_{new} = R_1 + R_2 = \alpha^2 + \beta^2 = (\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta = (2)^2 - 2(-5) = 4 + 10 = 14.
    • الجداء الجديد: Pnew=R1R2=α2β2=(αβ)2=(−5)2=25P_{new} = R_1 R_2 = \alpha^2 \beta^2 = (\alpha\beta)^2 = (-5)^2 = 25.

  • الخطوة 3: أنشئ المعادلة الجديدة. يمكن كتابة أي معادلة تربيعية على الشكل x2−(sum of roots)x+(product of roots)=0x^2 - (\text{sum of roots})x + (\text{product of roots}) = 0. لذا، فإن معادلتنا الجديدة هي x2−Snewx+Pnew=0x^2 - S_{new}x + P_{new} = 0، والتي تصبح x2−14x+25=0x^2 - 14x + 25 = 0.