1.6 صيغ مساحة المضلعات الأساسية

يُعد حساب المساحة مهارة أساسية. وفيما يتعلق بالأولمبيادات، لا يكفي أن تعرف الصيغ فحسب، بل يجب عليك أيضًا أن تفهم كيف ترتبط هذه الصيغ ببعضها البعض.

• مساحة المستطيل: وهي الحالة الأبسط. إذا كان طول المستطيل $l$ وعرضه $w$، فإن مساحته هي $A = l \times w$.

• مساحة المربع: المربع هو مستطيل تساوى فيه الطول والعرض، أي $l=w=s$ (حيث $s$ هو طول الضلع). وبالتالي، فإن مساحته هي $A = s^2$.

• مساحة متوازي الأضلاع: لمتوازي الأضلاع قاعدة طولها $b$ وارتفاع عمودي (نازل عليها) طوله $h$. المساحة هي $A = b \times h$.

  • لماذا؟ تخيّل أنك اقتطعت مثلثًا قائم الزاوية من أحد طرفي متوازي الأضلاع وأزحته ليصبح في الطرف الآخر. سيشكل تمامًا مستطيلًا طوله $b$ وارتفاعه $h$. لذا يجب أن تكون المساحة هي نفسها! تُسمى هذه الفكرة القوية “التجزئة” (Dissection).

• مساحة المثلث: يمكن النظر إلى المثلث على أنه نصف متوازي أضلاع.

  • الصيغة: $A = \frac{1}{2} \times b \times h$، حيث $b$ هي القاعدة و $h$ هو الارتفاع العمودي المناظر لها.
  • ملاحظة هامة: يمكن اختيار أي ضلع من أضلاع المثلث ليكون هو القاعدة، بشرط أن تستخدم الارتفاع العمودي على ذلك الضلع تحديدًا. ستعطيك الخيارات الثلاثة جميعها المساحة نفسها.

خدعة أولمبياد: يقسم متوسط المثلث (القطعة المستقيمة الواصلة من رأس إلى منتصف الضلع المقابل) المثلث إلى مثلثين متساويين في المساحة.

• لماذا؟ لنفترض أن $M$ هي منتصف $BC$ في المثلث $\triangle ABC$. المتوسط هو $AM$. لننظر إلى المثلثين الأصغر، $\triangle ABM$ و $\triangle ACM$. يشتركان في الرأس $A$. وإذا اتخذنا $BC$ كخط قاعدة، فإنهما يشتركان في نفس الارتفاع العمودي النازل من $A$ إلى الخط $BC$. قاعدتاهما هما $BM$ و $MC$. بما أن $M$ هي نقطة المنتصف، فإن $BM=MC$. بالتالي، المساحة($\triangle ABM$) = $\frac{1}{2} \times BM \times h$ والمساحة($\triangle ACM$) = $\frac{1}{2} \times MC \times h$. ولأن القاعدتين والارتفاع متساويان، فإن المساحتين متساويتان.

مثال تطبيقي 1.6.1 (باستخدام نسب المساحات)

في المستطيل $ABCD$ الذي مساحته 60، $M$ هي منتصف الضلع $BC$ و $N$ نقطة على الضلع $CD$ بحيث $CN = 2ND$. ما هي مساحة $\triangle AMN$؟

• منهجية التفكير: هذه مسألة ممتازة تتضمن إيجاد مساحة شكل صعب عن طريق طرح أشكال أسهل من شكل كلي أكبر. نعرف مساحة المستطيل الكلي. يمكننا بسهولة إيجاد مساحات المثلثات القائمة الثلاثة عند الزوايا ($\triangle ABM$، $\triangle MCN$، و $\triangle NDA$). المساحة المطلوبة هي المتبقي.

• الحل:

  1. لنفرض أن أطوال أضلاع المستطيل هي $AB=CD=x$ و $BC=AD=y$. المساحة هي $xy=60$.
  2. $M$ هي منتصف $BC$، لذا $BM = MC = y/2$.
  3. $N$ تقع على $CD$ بحيث $CN = 2ND$. هذا يعني أن $CD$ مقسوم إلى 3 أجزاء، لذا $ND = x/3$ و $CN=2x/3$.
  4. نحسب الآن مساحات المثلثات الثلاثة في الزوايا:
     • مساحة($\triangle ABM$) = $\frac{1}{2} \times \text{Base} \times \text{Height} = \frac{1}{2} \times AB \times BM = \frac{1}{2} \times x \times \frac{y}{2} = \frac{xy}{4}$.
     • مساحة($\triangle MCN$) = $\frac{1}{2} \times MC \times CN = \frac{1}{2} \times \frac{y}{2} \times \frac{2x}{3} = \frac{2xy}{12} = \frac{xy}{6}$.
     • مساحة($\triangle NDA$) = $\frac{1}{2} \times ND \times DA = \frac{1}{2} \times \frac{x}{3} \times y = \frac{xy}{6}$.
  5. إجمالي مساحة هذه المثلثات الثلاثة هو $\frac{xy}{4} + \frac{xy}{6} + \frac{xy}{6}$. لجمع هذه الكسور، نجد المقام المشترك، وهو 12: $\frac{3xy}{12} + \frac{2xy}{12} + \frac{2xy}{12} = \frac{7xy}{12}$.
  6. مساحة $\triangle AMN$ هي مساحة المستطيل الكلي مطروحًا منها مساحة المثلثات الثلاثة في الزوايا. مساحة($\triangle AMN$) = مساحة($ABCD$) - (مجموع مثلثات الزوايا) مساحة($\triangle AMN$) = $xy - \frac{7xy}{12} = \frac{5xy}{12}$.
  7. مُعطى لنا أن مساحة المستطيل، $xy$، هي 60. مساحة($\triangle AMN$) = $\frac{5}{12} \times 60 = 5 \times 5 = 25$.

• الخلاصة الأساسية: طريقة “الطرح” هي استراتيجية قوية جدًا لحل مسائل حساب المساحات. إذا لم تتمكن من حساب مساحة الشكل الذي تريده مباشرة، فابحث عما إذا كان بإمكانك إحاطته بشكل أبسط ثم اطرح الأجزاء التي لا تحتاجها.