1.4 تطابق المثلثات

يكون شكلان متطابقين إذا كان لهما الحجم والشكل ذاتهما تماماً. يمكنك وضع أحدهما فوق الآخر مباشرة، وسيتطابقان بشكل مثالي. بالنسبة للمثلثات، يعني هذا أن الأضلاع المتناظرة الثلاثة والزوايا المتناظرة الثلاثة جميعها متساوية.

ومع ذلك، لا نحتاج إلى التحقق من الأجزاء الستة جميعها لإثبات التطابق. لدينا بعض الاختصارات القوية، وهي معايير التطابق. هذه المعايير هي ركائز البراهين الهندسية. عندما تُثبت أن مثلثين متطابقان، فإنك تفتح كنزاً من المعلومات: فأنت تعرف الآن أن جميع أجزائهما المتناظرة متساوية! غالباً ما يُختصر هذا بـ أجزاء متناظرة لمثلثات متطابقة تكون متطابقة (Corresponding Parts of Congruent Triangles are Congruent)، أو أ.م.م.ت اختصاراً.

البراهين باستخدام معايير ض.ض.ض، ض.ز.ض، ز.ض.ز، ز.ز.ض، و.ق

إليك أدواتك الخمس لإثبات تطابق المثلثات. في كل حالة، تشير “ض” إلى الضلع (Side) وتشير “ز” إلى الزاوية (Angle).

1. ض.ض.ض (ضلع-ضلع-ضلع): إذا كانت أضلاع مثلث ما الثلاثة متساوية مع الأضلاع المتناظرة الثلاثة لمثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان.

2. ض.ز.ض (ضلع-زاوية-ضلع): إذا تساوى ضلعان والزاوية المحصورة (الزاوية بين الضلعين) في مثلث مع الضلعين المتناظرين والزاوية المحصورة في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان.

   • خطأ شائع: يجب أن تكون الزاوية بين الضلعين. إذا كانت لديك حالة ض.ض.ز (ضلع-ضلع-زاوية)، فإن هذا لا يضمن التطابق (تُعرف هذه باسم الحالة الغامضة، باستثناء حالة خاصة ستأتي أدناه).

3. ز.ض.ز (زاوية-ضلع-زاوية): إذا تساوت زاويتان والضلع المحصور (الضلع بين الزاويتين) في مثلث مع الزاويتين المتناظرتين والضلع المحصور في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان.

4. ز.ز.ض (زاوية-زاوية-ضلع): إذا تساوت زاويتان وضلع غير محصور في مثلث مع الزاويتين المتناظرتين والضلع غير المحصور في مثلث آخر، فإن المثلثين متطابقان.

   • يعمل هذا المعيار لأنه إذا عرفت زاويتين، فإنك تعرف الثالثة تلقائياً (لأن مجموعها $180^\circ$). لذا، فإن ز.ز.ض هو في الواقع نسخة من ز.ض.ز.

5. و.ق (وتر-قائمة): هذه حالة خاصة تعمل فقط للمثلثات قائمة الزاوية. إذا تساوى الوتر وإحدى الساقين (الضلع الذي ليس وتراً) في مثلث قائم الزاوية مع الوتر والساق المتناظرين في مثلث قائم آخر، فإن المثلثين متطابقان. هذه هي المرة الوحيدة التي تكون فيها حالة ض.ض.ز صحيحة!

مثال تطبيقي مُراجَع 1.4.1 (برهان كلاسيكي)

في المربع $ABCD$، تقع النقطتان $E$ و $F$ على الضلعين $BC$ و $CD$ على الترتيب، بحيث يكون $AE=AF$. أثبت أن $BE=DF$.

• عملية التفكير: هذا إعداد أكثر شيوعاً بكثير. لدينا أطوال متساوية ومطلوب إثبات أن أطوالاً أخرى متساوية. المرشحان الفوريان للتطابق هما المثلثات التي تشمل هذه الأضلاع، وهما تحديداً $\triangle ABE$ و $\triangle ADF$.

• الحل:

  1. لننظر إلى $\triangle ABE$ و $\triangle ADF$.
  2. نعرف أن كلاهما مثلث قائم الزاوية، لأن $\angle B = \angle D = 90^\circ$ (زوايا المربع).
  3. معطى أن الوترين متساويان: $AE = AF$.
  4. نعرف أن الساقين $AB$ و $AD$ متساويان لأنهما ضلعان في المربع ذاته: $AB=AD$.
  5. لدينا إذن مثلث قائم الزاوية، ووتران متساويان، وساقان متساويان. هذا يتطابق تماماً مع معيار تطابق الوتر والساق (و.ق).
  6. لذلك، $\triangle ABE \cong \triangle ADF$ وفقاً لمعيار و.ق.
  7. بما أن المثلثين متطابقان، يجب أن تكون أجزاؤهما المتناظرة متساوية. الضلع المناظر لـ $BE$ في $\triangle ABE$ هو الضلع $DF$ في $\triangle ADF$.
  8. وبالتالي، $BE = DF$. (مُثبَت باستخدام أ.م.م.ت).