1.5 تشابه المثلثات

في حين أن التطابق يعني “نفس الشكل، ونفس القياس”، فإن التشابه يعني “نفس الشكل، وقياس مختلف”. أحدهما هو نسخة مُصغَّرة أو مُكبَّرة تمامًا للآخر. تكون جميع الزوايا المتناظرة متساوية، لكن الأضلاع المتناظرة تكون متناسبة.

فكِّر في صورة فوتوغرافية وتكبيرٍ لها. الشكلان متطابقان، لكن القياسات مختلفة. تُسمَّى نسبة أطوال الأضلاع المتناظرة عامل القياس (أو نسبة التشابه).

البراهين باستخدام معايير التشابه: زاويتين (AA)، وثلاثة أضلاع (SSS)، وضلعين وزاوية محصورة (SAS)

تمامًا كما هو الحال مع التطابق، لدينا اختصارات لإثبات التشابه.

1. زاويتين (AA - Angle-Angle): إذا تساوت زاويتان في مثلث مع زاويتين متناظرتين في مثلث آخر، فإن المثلثين متشابهان.

   • هذا هو معيار التشابه الأكثر شيوعًا وفائدة على الإطلاق. إذا علمتَ أن زاويتين متطابقتان، فيجب أن تتطابق الثالثة أيضًا (بسبب مجموع $180^\circ$)، وبالتالي يكون الشكل ثابتًا.

2. ثلاثة أضلاع (SSS - Side-Side-Side): إذا كانت الأضلاع الثلاثة المتناظرة في مثلثين متناسبة (أي لها نفس النسبة)، فإن المثلثين متشابهان.

   • على سبيل المثال، إذا كانت $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF} = \frac{CA}{FD} = k$ (حيث $k$ هو عامل القياس)، فإن $\triangle ABC \sim \triangle DEF$. (الرمز $\sim$ يعني “يشابه”).

3. ضلعين وزاوية محصورة (SAS - Side-Angle-Side): إذا كان ضلعان في مثلث متناسبين مع ضلعين متناظرين في مثلث آخر، وكانت الزاويتان المحصورتان بينهما متساويتين، فإن المثلثين متشابهان.

   • على سبيل المثال، إذا كانت $\frac{AB}{DE} = \frac{BC}{EF}$ وكانت $\angle B = \angle E$، فإن $\triangle ABC \sim \triangle DEF$.

نسب الأضلاع والمحيطات والمساحات

إذا كان مثلثان متشابهين بعامل قياس $k$ (أي أن نسبة الأضلاع المتناظرة هي $k$)، فإن:

• نسبة محيطيهما هي أيضًا $k$.
• نسبة مساحتيهما هي $k^2$.

هذه نقطة حاسمة! إذا ضاعفتَ أطوال أضلاع مثلث، فإن محيطه يتضاعف، ولكن مساحته تصبح أربعة أضعاف. هذه العلاقة بين نسبة الأضلاع ($k$) ونسبة المساحات ($k^2$) هي مصدر متكرر لمسائل الأولمبياد.

مثال مُحلَّل 1.5.1 (باستخدام التشابه)

في $\triangle ABC$، تقع النقطة $D$ على $AC$ والنقطة $E$ على $BC$ بحيث $\overline{DE} \parallel \overline{AB}$. إذا كان $CD = 3$ و $DA = 6$ وكانت مساحة $\triangle DEC$ هي 12، فما مساحة الشكل الرباعي $ABED$؟

• منهج التفكير: في اللحظة التي ترى فيها خطًا موازيًا لضلع واحد من مثلث ويقطع الضلعين الآخرين، يجب أن تفكر فورًا في: التشابه! فالخط الموازي يُنشئ مثلثًا أصغر في الأعلى يشابه المثلث الأصلي الأكبر.

• الحل:

  1. لننظر إلى $\triangle ABC$ و $\triangle DEC$.
  2. بما أن $\overline{DE} \parallel \overline{AB}$، فإن القطعة المستقيمة $\overline{AC}$ هي قاطع (مستعرض). هذا يعني أن $\angle CDE = \angle CAB$ (زاويتان متناظرتان).
  3. وبالمثل، $\overline{BC}$ هو قاطع، لذا $\angle CED = \angle CBA$ (زاويتان متناظرتان).
  4. الزاوية $\angle C$ مشتركة بين المثلثين. إذن $\angle DCE = \angle ACB$.
  5. لقد أثبتنا أن زاويتين (في الواقع، الزوايا الثلاث جميعها) في $\triangle DEC$ تساوي الزوايا المتناظرة في $\triangle ABC$. لذلك، وبحسب معيار تشابه الزاويتين (AA)، فإن $\triangle DEC \sim \triangle ABC$.
  6. نحتاج الآن إلى عامل القياس، $k$. نسبة الأضلاع هي عامل القياس. لنستخدم الضلع $\overline{AC}$. الضلع المناظر لـ $CD$ في المثلث الصغير هو $CA$ في المثلث الكبير.
  7. $CD = 3$. $CA = CD + DA = 3 + 6 = 9$.
  8. نسبة الأضلاع (من الصغير إلى الكبير) هي $k = \frac{CD}{CA} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
  9. الآن، نستخدم قاعدة نسبة المساحات. نسبة المساحات هي $k^2$. $\frac{\text{area}(\triangle DEC)}{\text{area}(\triangle ABC)} = k^2 = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$.
  10. مُعطى لدينا أن مساحة($\triangle DEC$) = 12. $\frac{12}{\text{area}(\triangle ABC)} = \frac{1}{9}$.
  11. بالحل لإيجاد مساحة المثلث الكبير: مساحة($\triangle ABC$) = $12 \times 9 = 108$.
  12. السؤال يطلب مساحة الشكل الرباعي $ABED$. وهي مساحة المثلث الكبير مطروحًا منها مساحة المثلث الصغير. مساحة($ABED$) = مساحة($\triangle ABC$) - مساحة($\triangle DEC$) = $108 - 12 = 96$.