2.5 المتتاليات الهندسية

المتتالية الهندسية (Geometric Progression or GP) هي متتالية يُوجد فيها كل حدّ بعد الحدّ الأول عن طريق ضرب الحدّ السابق له في عدد ثابت غير صفري يُسمّى الأساس (أو النسبة المشتركة). يمكن التفكير فيها كما في مثال كرة ترتدّ، حيث يصل كل ارتداد إلى جزء معيّن من ارتفاع الارتداد الذي سبقه.

• يُرمز للحدّ الأول بالرمز $a$ أو $a_1$.
• يُسمّى المضاعف الثابت الأساس (النسبة المشتركة)، ويُرمز له بالرمز $r$.

مثال: $3, 6, 12, 24, 48, ...$ هي متتالية هندسية حدها الأول $a_1=3$ وأساسها $r = 6/3 = 2$.

صيغة الحدّ النوني

للوصول إلى الحدّ الثاني، نضرب الحدّ الأول في $r$ مرّة واحدة. وللوصول إلى الحدّ الثالث، نضرب في $r$ مرّتين. وللوصول إلى الحدّ النوني ($n$-th term)، نبدأ من $a_1$ ونضرب في $r$ ما مجموعه $(n-1)$ مرّة.

صيغة الحدّ النوني للمتتالية الهندسية هي: $a_n = a_1 \cdot r^{n-1}$

مثال محلول 1: إيجاد حدّ معيّن

أوجد الحدّ العاشر للمتتالية $5, 10, 20, 40, ...$

• هذه متتالية هندسية حدّها الأول $a_1 = 5$ وأساسها $r = 10/5 = 2$.
• المطلوب هو إيجاد $a_{10}$.
• $a_{10} = 5 \cdot (2)^{10-1} = 5 \cdot 2^9 = 5 \cdot 512 = 2560$

مجموع المتتالية الهندسية المنتهية

لإيجاد مجموع الحدود $n$ الأولى لمتتالية هندسية، والذي يُرمز له بالرمز $S_n$، نستخدم خدعة جبرية ذكية. لنفترض أن: $S_n = a + ar + ar^2 + ... + ar^{n-1}$ الآن، اضرب المجموع كاملاً في $r$: $rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + ... + ar^n$

الآن، اطرح المعادلة الثانية من الأولى: $S_n - rS_n = (a + ar + ... + ar^{n-1}) - (ar + ar^2 + ... + ar^n)$ $S_n(1-r) = a - ar^n$

معظم الحدود تلغي بعضها البعض! طالما أن $r \neq 1$، يمكننا القسمة على $(1-r)$ للحصول على صيغة المجموع:

$S_n = \frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$

مثال محلول 2: حساب المجموع

أوجد مجموع الحدود الثمانية الأولى للمتتالية الهندسية: $1, 3, 9, 27, ...$

• لدينا هنا $a_1 = 1$، و $r=3$، و $n=8$.
• باستخدام صيغة المجموع: $S_8 = \frac{1(1-3^8)}{1-3} = \frac{1 - 6561}{-2} = \frac{-6560}{-2} = 3280$